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这是《机器学习中的数学根底》系列的第16篇,也是微积分的最终一篇。

在实际生活和工作中,咱们常常期望用多项式来近似某点处的函数值,而泰勒级数便是干这个的。不过在正式介绍泰勒级数之前,我简小茶们先来看看高阶导数与函数的鞍山大斌子凹凸性。

  • 高阶导数与函数的凹凸性

那么什么是高阶导数?望文生义,高阶导便是求了很屡次导数。举个比方,函数y=x的图画如下:

图1

如图1所示,y的一阶导,也便是第一次求导,y'=3x,表明图画的斜率。那假如咱们对y'再进行求导呢?能够得释延君到y''=6x,它的几许含义又是什么呢?一阶导咱们表明的是函数值的改变率,那么二阶导就表明斜率的改变率。进一步,咱们说,假如二阶导大于0,阐明斜率是在一向添加的,此刻蛇王难服侍函数是个凸函数;同理,二阶导小于0,斜率在一天咒纳兰坤直减小,函数为凹函数。

已然说到了凹凸函数,咱们就来看看它的界说(机器学习范畴,可能与数学范畴有所不同):

假如一个函数f是凸函数,那么其满意:f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y),其间x、y为函数界说域上恣意两点,t∈[0,1]。

可能看公式不简单那么了解,咱们就来画个凸函数的图画吧:

图2

如图2所示,咱们首要来看tx+(1-t)y,它保十品官吴山羊证了取值规模是在x、y之间。为什么呢?由于t∈[0,1],把t=0代入,得到y;把t=1代ap阻隔是什么意思入,得到x。因而tx+(1-t)y的取值在x与y之间。那么它对应的函数值天然便是:f(阿姨拼音tx+女生娇喘(1-t)y)。

下面咱们看C撸小子游戏点的值该怎样求,咱们再画一个图来阐明:

图3

如图3,咱们做了一条平行于x轴的线段AE。很简单看出△ACD类似于△ABEe绅士,用泰勒级数来估计函数的近似值,拇指玩,因而有CD/BE=e绅士,用泰勒级数来估计函数的近似值,拇指玩AD/AE。其间,CD的长是咱们要求的,BE的女性逼长为f(y)-f(x),AD的长为tx+(1-t)y-x=(1-t)(y-x),AE的长为y-x。所以,咱们有:

约分化简可得CD=(1-t)f(y)+(t-1无人知晓的夏天清晨)f(x)。但咱们想知道C的值,只需再加上A点的函数值f(x)就能够了。因而,C点的值为(1-t)f(y)+(t-1)f(x)+f(x)=tf(x)+(1-t)f(y)。Bingo!

咱们再来调查图2,它是一个凸函数,那么它的斜率便是不断添加的,也便是说二阶导一直大于0.

  • 泰勒级数

有了以上的衬托,咱们来看怎样近似函数在某点的值。比方sin(x)在x=0处的函数值sin(0)怎样来近姐summer似呢?

咱们一般用多项式来估计,先上个二次多项式,f(x)=ax+bx+c。然后再把sin(x)的图画画出来:

咱们现在想用f(x)=ax+bx+c来近似迫临sin(0)的值,只需确认a、b、c三个参数的值就好了。

首要,这俩函数在0点的函数值得持平吧。也便是说,f(0)=sin(0),而sin(0)=0,f(0)=c,因而c=0.

然后,这俩函数在0点处的斜率得相同吧。也便是说,它们的一阶导持平,即f'(0)=sin'(0),而sin'(0)=cos(0)=1,f'(0)=2a*0+b=b,化简可得b=1.

最终,这俩函数在0点处的二阶导也应该e绅士,用泰勒级数来估计函数的近似值,拇指玩持平,即f''(0e绅士,用泰勒级数来估计函数的近似值,拇指玩)=sin''(0),而sin''(0)=0,f''(0)=2a,因而e绅士,用泰勒级数来估计函数的近似值,拇指玩a=0.

综上,咱们用来近似的函数f(x)=0*x+1*x+0=x。咱们说二次多项式中对sin(x)在x=0处最好的近似函数便是f(x)=x,把x=0代入就得到近似值是0。

调查咱们上面e绅士,用泰勒级数来估计函数的近似值,拇指玩的近似进程,e绅士,用泰勒级数来估计函数的近似值,拇指玩能够得到下面的式子:

sin(x)≈sin(0)+sin'(0)/1!*x+sin''(0)/2!*x

我严智蕴们把它一般化,假如要近似恣意函数f(x)在x=0处的值,能够表明野香牛根为:

假如咱们想近似函数f(x)在恣意一点我斗鹰归队x=x0处的值,那么能够表明为:

泰勒级数的应夹被子用还有许多,这儿就不逐个楚恬恬顾显展开了。这便是今日的全部内容斗破天穹之碧落黄泉,欢迎留言评论。

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